方法一：質因數分解
把每個數拆成質數相乘，再比較每個質因數的次方：
- 最大公因數：只取每個數都有的質因數，次方取最小的。
- 最小公倍數：所有出現過的質因數都要取，次方取最大的。
12 ＝ 2² × 3，18 ＝ 2 × 3²，30 ＝ 2 × 3 × 5
最大公因數 ＝ 2 × 3 ＝ 6
最小公倍數 ＝ 2² × 3² × 5 ＝ 180
方法二：短除法
國小、國中最常用的寫法。把數字排一列，左邊寫除數（質數），下面寫商：
- 找一個能整除全部數字的質數，從小的開始試，寫在左邊，商寫在下一列。
- 重複到全部數字沒有共同的質因數為止。到這裡，左邊的質數相乘就是最大公因數。
- 要求最小公倍數：如果還有任兩個數有共同的質因數，就繼續除，不能整除的數照抄到下一列。
- 直到最底下一列兩兩互質。左邊所有質數 × 最底下一列所有數 ＝ 最小公倍數。
兩個數的時候，第 2 步做完就同時得到最大公因數和最小公倍數；三個數以上，求最小公倍數要多做第 3 步。上面的計算結果會標出哪幾列是求最大公因數、哪幾列是只為了最小公倍數才繼續除的。
生活中會用到的地方
- 約分：分子分母同除以最大公因數，就是最簡分數。要算分數可以用分數計算機。
- 通分：分母的最小公倍數就是最小公分母。
- 週期問題：兩班公車分別 12 分鐘、18 分鐘一班，同時發車後，下一次同時發車是 36 分鐘後（最小公倍數）。
- 平均分組：24 顆蘋果和 36 顆橘子要分成同樣的幾份、不能有剩，最多分 12 份（最大公因數）。
常見問題
最大公因數和最小公倍數是什麼？
最大公因數（GCD，也叫最大公約數）是幾個數都能整除的數裡最大的那一個，例如 12 和 18 的最大公因數是 6。最小公倍數（LCM）是幾個數共同的倍數裡最小的那一個，例如 12 和 18 的最小公倍數是 36。
用質因數分解怎麼求？
先把每個數拆成質數相乘，例如 12 ＝ 2² × 3、18 ＝ 2 × 3²。最大公因數取每個共同質因數的「最小」次方：2¹ × 3¹ ＝ 6；最小公倍數取每個質因數的「最大」次方：2² × 3² ＝ 36。
短除法怎麼做？
把幾個數排成一列，用一個能同時整除它們的質數去除，商寫在下面，一直除到沒有共同的質因數為止。左邊除過的質數相乘就是最大公因數；再把左邊的質數和最底下一列的商全部相乘，就是最小公倍數。三個數以上求最小公倍數時，只要有兩個數能被整除就可以繼續除，不能整除的數直接照抄到下一列。
兩個數的最大公因數和最小公倍數有什麼關係？
兩個正整數 a、b 的最大公因數乘最小公倍數，剛好等於 a × b。例如 12 × 18 ＝ 216 ＝ 6 × 36。三個數以上就沒有這個關係，要用質因數分解或短除法算。
互質是什麼意思？
兩個數的最大公因數是 1，就叫互質，例如 8 和 15。互質的兩個數，最小公倍數就是兩數相乘。
可以算 0 或負數嗎？
本工具只收正整數。0 能被任何數整除，0 和 a 的最大公因數是 a，但 0 沒有最小公倍數的意義；負數的公因數、公倍數一般取正的來算，所以先把負號拿掉再填就可以。
計算方法
質因數分解用試除法（從 2 開始試到平方根）；最小公倍數用大整數（BigInt）計算，數字很大也不會失真。短除法每一步都選最小的可用質數，所以和課本寫法的順序可能不同，但最大公因數、最小公倍數的結果一定相同。