常態分佈・Z 分數計算機

怎麼用

先填平均數 μ 和標準差 σ，兩格都留空就是標準常態分佈（μ = 0、σ = 1）。再選要算的項目：

• 小於 x：算 P(X ≤ x)，也就是曲線在 x 左邊的面積。
• 大於 x：算 P(X ≥ x)，也就是曲線在 x 右邊的面積。
• 介於 a 與 b：算 P(a ≤ X ≤ b)，a 比 b 大時會自動對調。
• 由機率反查：輸入左尾累積機率 p（0.975 或 97.5% 都可以），得到 z 與 x = μ + zσ。
• 雙尾臨界值：輸入信心水準（例如 95%），得到 ±z 與對應的兩個數值。

結果會一併顯示 Z 分數、機率的小數與百分比、逐行的計算步驟，以及塗色標出對應面積的鐘形曲線。小數位數可選 2、4 或 6 位，只影響顯示。

Z 分數是什麼

Z 分數（z score，也稱 z 值）表示一個數值距離平均數有幾個標準差：

z ＝ (x − μ) ÷ σ

例題：某班某次考試的平均是 70 分、標準差是 10 分，有人考 85 分。

• Z 分數：z ＝ (85 − 70) ÷ 10 ＝ 1.5，表示比平均高 1.5 個標準差。
• 查 Φ(1.5)：P(X ≤ 85) ＝ Φ(1.5) ＝ 0.9332，也就是約 93.32% 的人分數在 85 分以下（假設成績服從常態分佈）。
• 反過來，P(X ≥ 85) ＝ 1 − 0.9332 ＝ 0.0668，約 6.68%。

把平均數填 70、標準差填 10、數值填 85，就能在上面的計算機重現這個結果。

怎麼查標準常態分配表（z 值表）

標準常態分配表（也叫 z 值表、常態分配表）列出 z 對應的左尾累積機率 Φ(z) ＝ P(Z ≤ z)。列是 z 的整數與小數第一位，欄是小數第二位。查 z ＝ 1.96：列選 1.9、欄選 0.06，格子是 0.9750。

表內只列 z ≥ 0。遇到負的 z，用對稱性換算：Φ(−z) ＝ 1 − Φ(z)。例如 Φ(−1.96) ＝ 1 − 0.9750 ＝ 0.0250。要算右尾機率，則用 P(Z ≥ z) ＝ 1 − Φ(z)。

標準常態分配表 Φ(z)

表內是左尾累積機率 Φ(z)；負值用 Φ(−z) = 1 − Φ(z)。

68／95／99.7 的區間

常態分佈中，數值落在平均數正負 1、2、3 個標準差以內的機率，可以用 Φ 算出來：

• 平均數 ± 1 個標準差：Φ(1) − Φ(−1) ＝ 0.6827（約 68%）
• 平均數 ± 2 個標準差：Φ(2) − Φ(−2) ＝ 0.9545（約 95%）
• 平均數 ± 3 個標準差：Φ(3) − Φ(−3) ＝ 0.9973（約 99.7%）

常見誤解

• μ 和 σ 要來自同一組資料。平均數用 A 組、標準差用 B 組，算出來的 z 沒有意義。
• 資料不是常態分佈時，結果只是近似。這個計算機算的是常態分佈假設下的理論機率，不是資料實際的比例。
• z 是位置，不是機率。z ＝ 1.5 是「高於平均 1.5 個標準差」，要經過 Φ 才變成機率。
• 連續分佈中，剛好等於某個值的機率是 0。所以小於與小於等於的結果相同。

想先從一串數字求出平均數與標準差，可以用標準差計算機；更多機率問題可看機率計算機，比例換算可用百分比計算機。相關主題還有相關係數與迴歸計算和信賴區間計算。

計算方法

Φ(z) 使用 Hart (1968)／West (2005) 的雙精度有理函數近似演算法，反函數 Φ⁻¹(p) 使用 Acklam 演算法，再以 Halley 法修正一次。表格由伺服器端以同一個演算法算好，與計算機的結果一致。

常見問題

資料來源

• NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods：Normal Distribution（英文）
• NIST/SEMATECH e-Handbook：Cumulative Distribution Function of the Standard Normal Distribution（英文）

本頁資料查核日期：2026 年 10 月。計算結果依你輸入的數字與所選方法產生，報告、論文或品質判定請依所屬單位規定的方法確認。