算你行｜生活工具箱怎麼用
先選要算的內容和信心水準，再填資料，按「計算」。算平均數的區間要有樣本平均數、標準差和樣本數；算比例的區間要有樣本數和成功次數，或直接填比例；算樣本數要填可接受的誤差，不確定比例時保留 50%。換信心水準或小數位數時，結果會跟著更新。小數位數只影響顯示，計算用未捨入的數字。
平均數：標準誤 SE ＝ 標準差 ÷ √n；誤差範圍 E ＝ 臨界值 × SE；區間 ＝ x̄ ± E
比例（Wald）：p̂ ± z√(p̂(1 − p̂) ÷ n)
樣本數（比例）：n₀ ＝ z² × p(1 − p) ÷ E²；樣本數（平均數）：n₀ ＝ (z × σ ÷ E)²
信賴區間怎麼解讀
95% 信賴區間的意思是：用同樣的方法重複抽樣，約有 95% 的區間會涵蓋真值。它不是「真值有 95% 的機率落在這個區間」，因為真值是固定的數字，已經算出來的區間要嘛涵蓋它，要嘛沒有。信心水準提高到 99%，區間會變寬；樣本數變大，區間會變窄。
z 與 t 差在哪
母體標準差 σ 已知時，用常態分布的 z 臨界值。通常手上只有樣本標準差 s，這時改用 t 臨界值，自由度是 n−1。同樣是 95%，樣本數很小時 t 臨界值明顯比 1.96 大，區間也比較寬；樣本數增加，t 臨界值會逐漸接近 z 臨界值。
| 例子 | 臨界值 | 區間 |
|---|---|---|
| x̄＝50、s＝8、n＝10，95%，用 t（自由度 9） | 2.2622 | [44.2771, 55.7229] |
| 同樣的數字，改當作 σ 已知，用 z | 1.9600 | [45.0416, 54.9584] |
比例的誤差範圍怎麼看
問卷例題：隨機抽 400 位受訪者，其中 168 位勾選「滿意」，p̂＝42%。標準誤約為 2.47 個百分點，95% 的誤差範圍約為 ±4.84 個百分點，Wald 區間約為 37.2% 到 46.8%。這句話可以讀成：以這份樣本估計，滿意比例大約落在這個範圍內。
x 為 0 或 n、或 n 很小時，Wald 區間會失真，可參考 Wilson。例如 50 份樣本中沒有任何一份成功，Wald 區間會變成 [0, 0]，Wilson 區間則是 [0, 0.0713]。
樣本數為什麼和母體大小關係不大
樣本數主要由誤差和信心水準決定。母體總數 N 有給時，會做有限母體修正：n ＝ n₀ ÷ (1 + (n₀ − 1) ÷ N)。以下是誤差 ±5%、95%、預估比例 50% 的例子，n₀ ＝ 384.15：
| 母體總數 N | 需要樣本數 |
|---|---|
| 500 | 218 |
| 5,000 | 357 |
| 1,000,000 | 384 |
| 不填（母體很大） | 385 |
母體小時，修正會讓需要的樣本數明顯減少；母體大到一定程度後，數字就幾乎不再變動。
誤差與信心水準對照表
預估比例 50%、母體很大時，需要的樣本數（無條件進位）：
| 可接受誤差 E | 90% | 95% | 99% |
|---|---|---|---|
| ±1% | 6,764 | 9,604 | 16,588 |
| ±2% | 1,691 | 2,401 | 4,147 |
| ±3% | 752 | 1,068 | 1,844 |
| ±4% | 423 | 601 | 1,037 |
| ±5% | 271 | 385 | 664 |
注意事項
這些公式假設資料是隨機抽樣得來的。回覆率不高、題目設計不當造成的偏差，不在誤差範圍裡，區間再窄也無法修正。要進一步看資料的平均數與標準差，可以用標準差計算機；要算機率可以用機率計算機；要換算占比可以用百分比計算機。另外還有常態分佈計算機與相關與迴歸計算機。
常見問題
95% 信賴區間是說真值有 95% 的機率在區間裡嗎？
不是。95% 指的是用同樣的方法重複抽樣很多次，約有 95% 的區間會涵蓋真值。單一個已經算出來的區間，要嘛涵蓋真值，要嘛沒有。
平均數的區間要用 z 還是 t？
母體標準差 σ 已知時用 z；只有樣本標準差 s 時用 t，自由度是 n−1。本頁預設用 t，樣本數越大，t 臨界值越接近 z 臨界值。
信心水準越高，區間會比較窄還是比較寬？
會比較寬。同一份資料，99% 的區間比 95% 的區間寬，你換到的是涵蓋真值的把握提高。
比例的區間為什麼有 Wald 和 Wilson 兩種？
Wald 是常態近似，算式最簡單；Wilson 是分數區間。成功次數為 0 或 n、或樣本數很小時，Wald 區間會失真，可參考 Wilson。本頁兩種都列出來對照。
問卷樣本數為什麼預設用 50%？
因為 p(1−p) 在 p＝50% 時最大，算出來的樣本數也最多，是最保守的設定。如果事先知道比例大概落在哪，可以改填預估比例。
母體很大時，樣本數還會跟著變多嗎？
幾乎不會。母體總數 N 很大時，有限母體修正的效果很小，需要的樣本數主要由誤差與信心水準決定。例如誤差 5%、95% 時，N 為 5,000 約需 357 份，N 為 1,000,000 約需 384 份。
誤差範圍有把問卷的所有偏差都算進去嗎？
沒有。公式假設是隨機抽樣；回覆率不高、題目設計不當等造成的偏差，不在誤差範圍裡。
樣本數算出小數時，要怎麼處理？
無條件進位成整數。例如算出 1067.07，就需要 1,068 份。本頁的步驟表會顯示進位前的數字。