算你行｜生活工具箱怎麼用
選「兩欄分開」，把 X 和 Y 各貼一組；或選「成對貼上」，從 Excel 複製兩欄直接貼上。貼上後結果會即時更新，不必按計算。小數位數只影響顯示，計算用未捨入的數字。想知道某個 x 對應的預測值，在「預測」欄輸入即可。
皮爾森相關係數 r
皮爾森相關係數衡量兩組數字之間線性關係的方向與緊密程度，範圍是 −1 到 1。r 為正是正相關，x 變大時 y 傾向變大；r 為負是負相關，x 變大時 y 傾向變小；r＝0 表示沒有線性關係。r 只衡量直線關係，兩組數字可能有明顯的曲線關係，r 卻接近 0。
x̄ ＝ Σx ÷ n；ȳ ＝ Σy ÷ n
Sxx ＝ Σ(x − x̄)2；Syy ＝ Σ(y − ȳ)2
Sxy ＝ Σ(x − x̄)(y − ȳ)
r ＝ Sxy ÷ √(Sxx × Syy)
決定係數 r²
r² 是 r 的平方，介於 0 到 1。它代表迴歸直線解釋了 y 的變異中的多少比例，其餘的部分則是直線沒有解釋到的。r² 沒有正負號，所以方向要看 r 或斜率 b。
最小平方法迴歸直線
最小平方法找出一條直線 y ＝ a ＋ bx，讓每個資料點到直線的垂直距離平方和最小。解出來的斜率與截距是：
斜率 b ＝ Sxy ÷ Sxx
截距 a ＝ ȳ − b × x̄
直線一定通過 (x̄, ȳ) 這一點。b 為負時，本頁把式子寫成 y ＝ a − |b|x。
例題：讀書時數與考試分數
某班 8 位同學的每週讀書時數 x（小時）與考試分數 y 如下，也就是「填入範例」的資料：
| x（小時） | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| y（分） | 52 | 55 | 61 | 60 | 68 | 72 | 75 | 83 |
n＝8，x̄＝4.5，ȳ＝65.75。Sxx＝42，Syy＝787.5，Sxy＝179。
r ＝ 179 ÷ √(42 × 787.5) ≈ 0.9842，r² ≈ 0.9687。斜率 b ＝ 179 ÷ 42 ≈ 4.2619，截距 a ＝ 65.75 − 4.2619 × 4.5 ≈ 46.5714，迴歸式為 y ≈ 46.5714 ＋ 4.2619x。在預測欄輸入 x＝6，得到 ŷ ≈ 72.1429；輸入 x＝9 則超出原資料範圍（1 到 8），屬外插，只能當參考。
注意事項
- 相關不等於因果：r 再大也不能證明 x 造成 y。
- 離群值會大幅影響 r 和迴歸直線，一個遠離其他點的資料就可能讓結果明顯改變。建議先看散佈圖。
- 外插要小心：x 超出原資料範圍時，直線是否仍成立無從得知。
- r 只描述線性關係；點排成曲線時，用直線去描述並不適當。
Excel 函式對照
| 本頁結果 | Excel 函式 |
|---|---|
| r | CORREL |
| r² | RSQ |
| 斜率 b | SLOPE |
| 截距 a | INTERCEPT |
限制
使用瀏覽器浮點數計算。最多接受 5,000 對；至少需要 2 對，且 X 不能全部相同。計算步驟表最多列前 200 列，合計列使用全部資料。
常見問題
相關係數 r 的範圍是多少？
r 一定落在 −1 到 1 之間。r 為正表示 x 變大時 y 傾向變大，r 為負表示 x 變大時 y 傾向變小，r＝0 表示兩者之間沒有線性關係。r＝1 或 −1 時，所有點剛好排在同一條直線上。
r 和 r² 有什麼不同？
r 帶有正負號，描述方向；r² 是 r 的平方，永遠介於 0 到 1，代表迴歸直線解釋了 y 變異的多少比例。例如 r² 等於 0.9687，表示 y 的變異有 96.87% 可以由這條直線解釋。
相關係數高，就表示 x 造成 y 嗎？
不能這樣推論。相關係數只描述兩組數字一起變動的線性程度，不能證明因果。可能是 x 影響 y、y 影響 x，也可能另有因素同時影響兩者。
Excel 的 CORREL、SLOPE、INTERCEPT 對應本頁哪個欄位？
CORREL 對應 r，RSQ 對應 r²，SLOPE 對應斜率 b，INTERCEPT 對應截距 a。用這些函式時，請確認 X 與 Y 兩個範圍放對位置，並且筆數相同。
為什麼顯示「X 全部相同，無法計算」？
如果每一筆 x 都一樣，Sxx 等於 0，斜率 b＝Sxy÷Sxx 的分母是 0，相關係數也無法定義，所以本頁不計算。請確認 X 欄的數字是否貼對。
Y 全部相同時，結果會是什麼？
這時 Syy 等於 0，r 的分母是 0，所以 r 與 r² 無法計算；但迴歸直線仍存在，是一條水平線，斜率 b＝0、截距 a＝ȳ，本頁照列。
預測的 x 超出資料範圍怎麼辦？
迴歸式是用你輸入的資料範圍算出來的。x 超出這個範圍屬於外插，直線是否仍成立無從得知，本頁會標示「超出原資料範圍，屬外插，結果僅供參考」。
從 Excel 貼上兩欄要注意什麼？
選「成對貼上」，把兩欄一起複製貼進來，每行會是 x、y 一對（以 Tab 分隔）。請不要輸入千分位逗號：1,234 會被當成 1 與 234 兩個數字。無法解析的行會列出並略過。
資料來源
- NIST Dataplot Reference Manual：CORRELATION（英文）
- NIST/SEMATECH e-Handbook：Linear Least Squares Regression（英文）
相關工具
本頁資料查核日期：2026 年 10 月。計算結果依你輸入的數字與所選方法產生，報告、論文或品質判定請依所屬單位規定的方法確認。